Sabine（サービン）の残響時間の公式から、残響時間は面積に反比例すると考えた経験はありませんか？今回は立方体を想定して解説していきます。

問題文はこちらです。

上図の室における残響時間を求めよ。ただし、室容積Vは1000㎥、吸音力50㎡とする。また、この室容積を10倍にした時の残響時間を求めよ。この時、それぞれの壁の吸音率と縦横高さの比は変化しない。

それでは解説を始めます。

Sabineの残響時間の公式

Sabineの残響時間を用います。サービンの残響時間の式は

となります。

実際に残響時間を求める

これを用いると残響時間Tは

T=V/A
=1000×50
=8000　[s]

となります。

次にこの室の室容積を10倍した時の残響時間を求めます。

室容積が変化した後の残響時間を求める!

残響時間は壁面積に影響するので、室容積を10倍した時の壁面積の値を計算しましょう。

室容積が変わった時の残響時間を計算するときのポイントは、総面積がどのように変わるのかです。

総面積の変化は、変化を単純化してみると計算しやすいです。

条件を見ると、それぞれの壁の縦横高さの比が変わらないことがわかるので、１辺の長さがxの立方体の場合で考えてみましょう。

室容積の変化前後で残響時間の変化を図で確認する！

元の立方体の体積がx³で、変化後の立方体の体積が10x³です。そうすると、変化後の立方体の１辺は³√10×xとなるので変化後の立方体の１面の面積は
S=（³√（10）×x）×（³√（10）×x）
=³√10²×x²
となります。

元の立方体の面積がx²なので変化後の面積は元の面積の³√10²倍となることがわかります。

実際に室容積の変化前後で残響時間の変化を計算する！

Sabineの残響時間の式のAを³√10²Aに変換すればいいので、室容積を10倍した時の残響時間は

T=V/³√10²A
=1000׳√10²×50
=37132.71…
≒37132　[s]

となります。

まとめ

◦残響時間の変化は総面積の変化

今回の結果から容積が増えても単純に２倍、３倍のようにならない、つまり残響時間は室容積に比例しないことがわかりました。問題を解く際は、「単純に倍数にするのは簡単すぎるだろう」と気づけますので、公式を再度確認すれば思い出せると思います。

以上です。